Τα «σκαριφήματα» των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών αποκαλύπτουν πώς έκαναν υπολογισμούς στη ρωμαϊκή Αίγυπτο

Ένα μαθηματικό πρόβλημα στον πάπυρο MPER N.S. 1.1. [Credit: T. Kelly, 2026] Μια νέα καταλογογράφηση των σχεδίων που εντοπίζονται σε ελληνικο...

Ένα μαθηματικό πρόβλημα στον πάπυρο MPER N.S. 1.1. [Credit: T. Kelly, 2026]

Μια νέα καταλογογράφηση των σχεδίων που εντοπίζονται σε ελληνικούς μαθηματικούς παπύρους από τη ρωμαϊκή Αίγυπτο δείχνει ότι οι γραφείς σχεδίαζαν διαγράμματα για να πραγματοποιούν τους υπολογισμούς τους και όχι απλώς για να τους επεξηγούν. Τα σχέδια χρησίμευαν ταυτόχρονα ως πρόχειρο χαρτί εργασίας, βοήθημα μνήμης και μέσο επαλήθευσης των αποτελεσμάτων.

Όταν σκεφτόμαστε τα ελληνικά μαθηματικά, μας έρχονται στον νου ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης και ο Απολλώνιος ο Περγαίος: κομψές αποδείξεις και γενικοί κανόνες. Παράλληλα με αυτή την παράδοση υπήρχε και μια πιο ταπεινή, η οποία σπάνια βρίσκει θέση στα εγχειρίδια. Επρόκειτο για μαθηματικά που αποσκοπούσαν στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων, και μια νέα μελέτη υποστηρίζει ότι όσοι τα εφάρμοζαν βασίζονταν σε μεγάλο βαθμό σε σχέδια.

Συγγραφέας της μελέτης είναι ο Thomas Kelly, κλασικός φιλόλογος με σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ. Η έρευνά του, η οποία δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Historia Mathematica, αποτελεί τον πρώτο συστηματικό κατάλογο των γεωμετρικών διαγραμμάτων που σώζονται σε ελληνικούς μαθηματικούς παπύρους. Ο κεντρικός ισχυρισμός του Kelly είναι ότι αυτά τα σκαριφήματα αποτελούσαν εργαλεία εργασίας για την επίλυση προβλημάτων και ήταν κάτι πολύ περισσότερο από διακοσμητικά στοιχεία.

Οι ανασκαφές σε αιγυπτιακές θέσεις, όπως η Σοκνοπαίου Νήσος (Soknopaiou Nesos), η σημερινή Dimeh, στο βόρειο Φαγιούμ, και η Θεαδέλφεια, το σημερινό Batn al-Harit, έχουν αποδώσει χιλιάδες παπύρους που περιέχουν αυτό που είναι γνωστό ως «πρακτικά μαθηματικά». Πρόκειται για εφαρμοσμένα μαθηματικά που αφορούσαν καθημερινά προβλήματα: το εμβαδόν ενός αγρού, τον όγκο μιας σιταποθήκης ή την ποσότητα χώματος που αφαιρούνταν κατά τη διάρκεια μιας εκσκαφής.

Τα κείμενα γράφονταν από γραφείς για γραφείς και ακολουθούσαν ένα σταθερό πρότυπο. Καθένα ξεκινούσε με ένα πρόβλημα βασισμένο σε συγκεκριμένους αριθμούς και στη συνέχεια παρέθετε τα βήματα που οδηγούσαν στη λύση. Σχεδόν ποτέ δεν εξηγούσε γιατί λειτουργούσαν αυτά τα βήματα. Εδώ ακριβώς υπεισέρχονται τα διαγράμματα. Όπως επισημαίνει ο Kelly, ο ρόλος των διαγραμμάτων σε αυτό το είδος αρχαίων μαθηματικών αποτελούσε ένα σημαντικό κενό στην επιστημονική έρευνα.

Ο Kelly μελέτησε δέκα παπύρους που περιλαμβάνουν γεωμετρικά διαγράμματα. Χρονολογούνται σε διάστημα αρκετών αιώνων και παρουσιάζουν μεγάλη ποικιλία ως προς το ύφος και το περιβάλλον χρήσης τους. Τρεις ξεχωρίζουν:

• P. Math: Κώδικας, δηλαδή πρώιμη μορφή βιβλίου με δεμένες σελίδες αντί για ειλητάριο, που εκδόθηκε το 2019. Περιέχει περισσότερα διαγράμματα από οποιονδήποτε άλλο γνωστό ελληνικό πάπυρο και πιθανότατα αποτελούσε σχολικό εγχειρίδιο για την εκπαίδευση μελλοντικών επιχειρηματιών.

• MPER N.S. 1.1: Πάπυρος σε μορφή ειληταρίου, πιθανώς του 1ου αιώνα μ.Χ., με 27 διαγράμματα στερεών, τρισδιάστατων σχημάτων.

• P. Chic. 3: Ξεχωρίζει επειδή τα κείμενά του δεν αναφέρουν ποτέ τις διαστάσεις των σχημάτων. Ο αναγνώστης πρέπει να αντλήσει κάθε μέτρηση απευθείας από το σχέδιο.

Η διαφορά ανάμεσα στο πρωτότυπο διάγραμμα και στη νεότερη επεξεργασμένη εκδοχή του. [Credit: T. Kelly, 2026]

Σχέδια που αναλάμβαναν μέρος της σκέψης

Ο Kelly εξέτασε τόσο τι σχεδίαζαν οι γραφείς όσο και τον σκοπό των σχεδίων τους. Το συμπέρασμά του είναι ότι τα διαγράμματα επιτελούσαν γνωστική λειτουργία για όποιον επεξεργαζόταν ένα κείμενο με προβλήματα προς επίλυση. Θα μπορούσε κανείς να τα παρομοιάσει με έναν συνδυασμό πρόχειρου χαρτιού, αυτοκόλλητου σημειώματος και φύλλου απαντήσεων. Τα σχέδια εξυπηρετούσαν τρεις λειτουργίες.

- Χώρος εργασίας. Οι γραφείς σημείωναν ενδιάμεσα αποτελέσματα δίπλα στο σχήμα, όπως τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου, δηλαδή το γινόμενο κάθε μήκους επί τον εαυτό του, επειδή θα χρειάζονταν αυτούς τους αριθμούς αργότερα. Στην ουσία, μετέφεραν ένα μέρος της μνήμης τους στον πάπυρο, απελευθερώνοντας την προσοχή τους για το επόμενο βήμα. Στον πάπυρο P. Math, οι αριθμοί που βρίσκονται δίπλα στις πλευρές ορισμένων σχημάτων δεν αντιπροσωπεύουν πραγματικές μετρήσεις. Πρόκειται για παράγωγες τιμές που ο γραφέας ήθελε να διατηρήσει στη μνήμη του.

- Βοήθημα μνήμης. Ορισμένα προβλήματα περιλάμβαναν πολλά στάδια, όπως τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ακανόνιστου τετράπλευρου με τη διαίρεσή του σε απλούστερα σχήματα. Το διάγραμμα διατηρούσε σε τάξη κάθε τιμή και την προέλευσή της, ώστε ο γραφέας να μη χάνει τον ειρμό μέσα σε ένα περίπλοκο σύνολο αριθμών. Στον πάπυρο P. Bagnall 35, ένα πρόβλημα υπολογισμού εμβαδού με εσωτερικές υποδιαιρέσεις θα απαιτούσε από τον γραφέα να συγκρατεί ταυτόχρονα στη μνήμη του μεγάλο αριθμό τιμών, αν δεν διέθετε το σχέδιο.

- Μέσο ελέγχου του αποτελέσματος. Όταν η τελική απάντηση καταγραφόταν πάνω στο διάγραμμα, ο αναγνώστης μπορούσε να διαπιστώσει με μια ματιά αν η διαδικασία είχε αποδώσει το σωστό αποτέλεσμα. Ο Kelly επισημαίνει την τάση για πλήρη αναγραφή των στοιχείων. Σε μια σύγχρονη εξέταση, το διάγραμμα συνήθως δεν αποκαλύπτει την απάντηση, ενώ στους παπύρους επισημαίνονται τα πάντα, συμπεριλαμβανομένης της λύσης.

Τρίγωνα, κύκλοι και στερεά σχήματα

Τα ορθογώνια τρίγωνα σχεδιάζονται με έναν πολύ τυποποιημένο τρόπο: η ορθή γωνία τοποθετείται κάτω αριστερά και η βάση είναι συχνά πλατύτερη από το ύψος, ακόμη και όταν οι αριθμητικές τιμές υποδεικνύουν το αντίθετο. Σύμφωνα με τον Kelly, φαίνεται ότι η αντίληψη για το πώς θα έπρεπε να μοιάζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο είχε μεγαλύτερη σημασία από την ακριβή γεωμετρική απόδοσή του.

Οι κύκλοι ήταν δυσκολότεροι. Η χάραξη ενός τέλειου κύκλου πάνω σε πάπυρο ήταν δύσκολη και οι περισσότεροι σχεδιάζονταν ελεύθερα, χωρίς διαβήτη. Συχνά συμπιέζονταν ώστε να χωρέσουν σε μια γραμμή διαμέτρου που είχε χαραχθεί εκ των προτέρων. Στον P. Math, οι κύκλοι τείνουν να είναι επιμηκυμένοι κατακόρυφα, ενώ σε άλλα κείμενα είναι πλατύτεροι παρά ψηλότεροι.

Τα στερεά σχήματα παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη ποικιλία. Ο MPER N.S. 1.1, ο οποίος θεωρείται ο αρχαιότερος πάπυρος της ομάδας, περιέχει απόπειρες απεικόνισης τρισδιάστατων σχημάτων με τη χρήση μιας μορφής γραμμικής προοπτικής, κάτι ασυνήθιστο για αυτό το είδος κειμένου.

Άλλοι πάπυροι προτιμούν μια σχηματική προσέγγιση και απεικονίζουν ταυτόχρονα και τα δύο άκρα ενός αντικειμένου. Στον P. Math, το πρόβλημα g4 παρουσιάζει έναν κύλινδρο με τις δύο κυκλικές βάσεις του ορατές ταυτόχρονα, κάτι που το ανθρώπινο μάτι δεν θα μπορούσε να δει στην πραγματικότητα. Αυτή η συμβατική απεικόνιση διευκόλυνε την ανάγνωση των διαστάσεων και, για τις ανάγκες ενός υπολογισμού, αυτό ήταν αρκετό.

Μια άμεση εικόνα του τρόπου μετάδοσης της γνώσης

Οι πάπυροι αποκαλύπτουν επίσης στοιχεία για τον τρόπο με τον οποίο μεταδιδόταν η μαθηματική γνώση. Ο Kelly τονίζει ότι αυτά τα διαγράμματα αποτελούν άμεση πηγή, πολύ πιο κοντά στη χρονική στιγμή κατά την οποία χρησιμοποιούνταν οι συγκεκριμένες γνώσεις, σε σύγκριση με τα μεσαιωνικά αντίγραφα μέσω των οποίων έφτασαν έως εμάς τα έργα του Ευκλείδη και του Αρχιμήδη.

Τα προβλήματα στους ελληνικούς παπύρους παρουσιάζουν κοινά χαρακτηριστικά με τα μαθηματικά κείμενα της αρχαίας Αιγύπτου και της Μεσοποταμίας: συγκεκριμένους αριθμούς και απουσία γενικών αποδείξεων. Ωστόσο, η συστηματική χρήση διαγραμμάτων ως εργαλείων υπολογισμού φαίνεται να αποτελεί ιδιαίτερο γνώρισμα του ελληνορωμαϊκού κόσμου, ειδικότερα των σχολών της ρωμαϊκής Αιγύπτου.

Η διαφορά ανάμεσα σε ένα πρωτότυπο διάγραμμα και σε μια σύγχρονη έκδοσή του μπορεί να είναι αποκαλυπτική. Ο Kelly παραθέτει ως παράδειγμα την έκδοση του MPER N.S. 1.1 του 1932, στην οποία η απεικόνιση μιας πυραμίδας είχε «εξωραϊστεί» και τυποποιηθεί.

Με αυτή την επεξεργασία, η πυραμίδα έχασε τον τρισδιάστατο χαρακτήρα της και, ενδεχομένως, μέρος των πληροφοριών που αρχικά περιείχε το σχέδιο. Ο Kelly ελπίζει ότι ο κατάλογός του θα βοηθήσει τους μελλοντικούς ερευνητές να αποφύγουν τα προβλήματα που προκαλεί η σκόπιμη τυποποίηση των πρωτότυπων σχεδίων.

Διαβάστε εδώ τη σχετική επιστημονική δημοσίευση.

Thomas Kelly, Diagrams in ancient Greek practical mathematics. Historia Mathematica, vol.75, December 2026. doi.org/10.1016/j.hm.2026.103248

Πηγή: LBV Magazine